Регрессионный анализ: понятие, задачи, основные цели.
Регрессио́нный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X1,X2. Xp. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения. Цели регрессионного анализа
Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными)
Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых)
Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой
Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.
Регрессионным анализом называется определение аналитического выражения связи между исследуемыми переменными, в котором изменение результативной переменной происходит под влиянием факторной переменной.
Модель регрессии или уравнение регрессии позволяет количественно оценить взаимосвязь между исследуемыми переменными.
Предположим, что имеется набор значений двух переменных: yi (результативная переменная) и xi (факторная переменная). Между этими переменными существует зависимость вида: y = f (x).
Задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы по данным наблюдений определить такую функцию ỹ = f (x), которая наилучшим образом описывала исследуемую зависимость между переменными.
Для определения аналитической формы зависимости между исследуемыми переменными применяются следующие методы:
1) графический метод или визуальная оценка характера связи. В этом случае на линейном графике по оси абсцисс откладываются значения факторной переменной х, а по оси ординат – значения результативной переменной у. Затем на пересечении соответствующих значений отмечаются точки. Полученный точечный график в системе координат (х, у) называется корреляционным полем. Линия, которая соединяет точки на графике, называется эмпирической линией. По её виду можно судить не только о наличии, но и о форме зависимости между изучаемыми переменными;
2) на основе теоретического и логического анализа природы изучаемых явлений, их социально-экономической сущности;
3) определение аналитической формы зависимости между переменными экспериментальным путём.
При исследовании зависимости между двумя переменными чаще всего используется линейная форма связи. Это связано с двумя обстоятельствами:
1) чёткая экономическая интерпретация параметров линейной модели регрессии;
2) в большинстве случаев нелинейные модели регрессии преобразуются к линейному виду.
Общий вид модели парной регрессии зависимости переменной у от переменной х:
где yi– результативные переменные,
xi– факторные переменные,
β0, β1 – параметры модели регрессии, подлежащие оцениванию;
εi – случайная ошибка модели регрессии. Данная величина является случайной, она характеризует отклонения реальных значений результативных переменных от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.
Присутствие случайной ошибки в модели регрессии порождено следующими источниками:
1) нерепрезентативность выборки. Модель парной регрессии в большинстве случаев является большим упрощением истинной зависимости между переменными, потому что в модель входит только одна факторная переменная, не способная полностью объяснить вариацию результативной переменной. При этом результативная переменная может быть подвержена влиянию множества других факторных переменных в гораздо большей степени;
2) ошибки, возникающие при измерении данных;
3) неправильная функциональная спецификация модели.
Коэффициент β1, входящий в модельпарной регрессии, называется коэффициентом регрессии. Он характеризует, на сколько в среднем изменится результативная переменная у при условии изменения факторной переменной х на единицу своего измерения. Знак коэффициента регрессии указывает на направление связи между переменными:
1) если β1›0, то связь между изучаемыми переменными (с уменьшением факторной переменной х уменьшается и результативная переменная у, и наоборот);
2) если β1‹0, то связь между изучаемыми переменными (с увеличением факторной переменной х результативная переменная у уменьшается, и наоборот).
Коэффициент β0, входящий в модель парной регрессии, трактуется как среднее значение результативной переменной у при условии, что факторная переменная х равна нулю. Но если факторная переменная не имеет и не может иметь нулевого значения, то подобная трактовка коэффициента β0 не имеет смысла.
Общий вид модели парной регрессии в матричном виде:
– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности n x 1;
– матрица значений факторной переменной размерности n x 2. Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу;
– вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности 2 x 1
– случайный вектор-столбец ошибок модели регрессии размерности n x 1.
Источник
Основы анализа данных
Регрессионный анализ
Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.
Последовательность этапов регрессионного анализа
Рассмотрим кратко этапы регрессионного анализа.
- Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.
- Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.
- Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.
- Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).
- Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)
- Оценка точности регрессионного анализа.
- Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.
- Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.
При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, — к другому классу.
Задачи регрессионного анализа
Рассмотрим основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии , оценка неизвестных значений зависимой переменной.
Установление формы зависимости.
Характер и форма зависимости между переменными могут образовывать следующие разновидности регрессии:
- положительная линейная регрессия (выражается в равномерном росте функции);
- положительная равноускоренно возрастающая регрессия;
- положительная равнозамедленно возрастающая регрессия;
- отрицательная линейная регрессия (выражается в равномерном падении функции);
- отрицательная равноускоренно убывающая регрессия;
- отрицательная равнозамедленно убывающая регрессия.
Однако описанные разновидности обычно встречаются не в чистом виде, а в сочетании друг с другом. В таком случае говорят о комбинированных формах регрессии.
Определение функции регрессии.
Вторая задача сводится к выяснению действия на зависимую переменную главных факторов или причин, при неизменных прочих равных условиях, и при условии исключения воздействия на зависимую переменную случайных элементов. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа.
Оценка неизвестных значений зависимой переменной.
Решение этой задачи сводится к решению задачи одного из типов:
- Оценка значений зависимой переменной внутри рассматриваемого интервала исходных данных, т.е. пропущенных значений; при этом решается задача интерполяции.
- Оценка будущих значений зависимой переменной, т.е. нахождение значений вне заданного интервала исходных данных; при этом решается задача экстраполяции.
Обе задачи решаются путем подстановки в уравнение регрессии найденных оценок параметров значений независимых переменных. Результат решения уравнения представляет собой оценку значения целевой (зависимой) переменной.
Рассмотрим некоторые предположения, на которые опирается регрессионный анализ.
Предположение линейности, т.е. предполагается, что связь между рассматриваемыми переменными является линейной. Так, в рассматриваемом примере мы построили диаграмму рассеивания и смогли увидеть явную линейную связь. Если же на диаграмме рассеивания переменных мы видим явное отсутствие линейной связи, т.е. присутствует нелинейная связь, следует использовать нелинейные методы анализа.
Предположение о нормальности остатков . Оно допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения можно воспользоваться гистограммами остатков .
При использовании регрессионного анализа следует учитывать его основное ограничение. Оно состоит в том, что регрессионный анализ позволяет обнаружить лишь зависимости, а не связи, лежащие в основе этих зависимостей.
Регрессионный анализ дает возможность оценить степень связи между переменными путем вычисления предполагаемого значения переменной на основании нескольких известных значений.
Уравнение регрессии выглядит следующим образом: Y=a+b*X
При помощи этого уравнения переменная Y выражается через константу a и угол наклона прямой (или угловой коэффициент) b, умноженный на значение переменной X. Константу a также называют свободным членом, а угловой коэффициент — коэффициентом регрессии или B-коэффициентом.
В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.
Остаток — это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения).
Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис «Пакет анализа» и инструмент анализа «Регрессия». Задаем входные интервалы X и Y. Входной интервал Y — это диапазон зависимых анализируемых данных, он должен включать один столбец. Входной интервал X — это диапазон независимых данных, которые необходимо проанализировать. Число входных диапазонов должно быть не больше 16.
На выходе процедуры в выходном диапазоне получаем отчет, приведенный в таблице 8.3а — 8.3в.
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0,998364 |
| R-квадрат | 0,99673 |
| Нормированный R-квадрат | 0,996321 |
| Стандартная ошибка | 0,42405 |
| Наблюдения | 10 |
Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а, — регрессионную статистику.
Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала [0;1].
В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.
Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение R-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.
В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.
множественный R — коэффициент множественной корреляции R — выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).
Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.
В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно, множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |
| Y-пересечение | 2,694545455 | 0,33176878 | 8,121757129 |
| Переменная X 1 | 2,305454545 | 0,04668634 | 49,38177965 |
| * Приведен усеченный вариант расчетов | |||
Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б. Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).
Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:
Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).
Если знак при коэффициенте регрессии — положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.
Если знак при коэффициенте регрессии — отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).
В таблице 8.3в. представлены результаты вывода остатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента «Регрессия» активировать чекбокс «Остатки».
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | Стандартные остатки |
|---|---|---|---|
| 1 | 9,610909091 | -0,610909091 | -1,528044662 |
| 2 | 7,305454545 | -0,305454545 | -0,764022331 |
| 3 | 11,91636364 | 0,083636364 | 0,209196591 |
| 4 | 14,22181818 | 0,778181818 | 1,946437843 |
| 5 | 16,52727273 | 0,472727273 | 1,182415512 |
| 6 | 18,83272727 | 0,167272727 | 0,418393181 |
| 7 | 21,13818182 | -0,138181818 | -0,34562915 |
| 8 | 23,44363636 | -0,043636364 | -0,109146047 |
| 9 | 25,74909091 | -0,149090909 | -0,372915662 |
| 10 | 28,05454545 | -0,254545455 | -0,636685276 |
При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение остатка в нашем случае — 0,778, наименьшее — 0,043. Для лучшей интерпретации этих данных воспользуемся графиком исходных данных и построенной линией регрессии, представленными на рис. 8.3. Как видим, линия регрессии достаточно точно «подогнана» под значения исходных данных.
Следует учитывать, что рассматриваемый пример является достаточно простым и далеко не всегда возможно качественное построение регрессионной прямой линейного вида.
Осталась нерассмотренной задача оценки неизвестных будущих значений зависимой переменной на основании известных значений независимой переменной, т.е. задача прогнозирования.
Имея уравнение регрессии, задача прогнозирования сводится к решению уравнения Y= x*2,305454545+2,694545455 с известными значениями x. Результаты прогнозирования зависимой переменной Y на шесть шагов вперед представлены в таблице 8.4.
| x | Y(прогнозируемое) |
|---|---|
| 11 | 28,05455 |
| 12 | 30,36 |
| 13 | 32,66545 |
| 14 | 34,97091 |
| 15 | 37,27636 |
| 16 | 39,58182 |
Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Microsoft Excel мы:
- построили уравнение регрессии;
- установили форму зависимости и направление связи между переменными — положительная линейная регрессия, которая выражается в равномерном росте функции;
- установили направление связи между переменными;
- оценили качество полученной регрессионной прямой;
- смогли увидеть отклонения расчетных данных от данных исходного набора;
- предсказали будущие значения зависимой переменной.
Если функция регрессии определена, интерпретирована и обоснована, и оценка точности регрессионного анализа соответствует требованиям, можно считать, что построенная модель и прогнозные значения обладают достаточной надежностью.
Прогнозные значения, полученные таким способом, являются средними значениями, которые можно ожидать.
Выводы
В этой части лекции мы рассмотрели основные характеристики описательной статистики и среди них такие понятия, как среднее значение , медиана , максимум , минимум и другие характеристики вариации данных. Также было кратко рассмотрено понятие выбросов . Рассмотренные в лекции характеристики относятся к так называемому исследовательскому анализу данных, его выводы могут относиться не к генеральной совокупности, а лишь к выборке данных. Исследовательский анализ данных используется для получения первичных выводов и формирования гипотез относительно генеральной совокупности. Также были рассмотрены основы корреляционного и регрессионного анализа, их задачи и возможности практического использования.
Источник
